中国剩余定理—— 一次同余方程组解法

文章目录​​写在前面​​​​问题的提出​​​​一次同余方程组的计算过程​​​​中国剩余定理​​​​一次同余方程组的求解​​​​例题求解​​​​补充​​写在前面

总结一下中国剩余定理，即一次同余方程组的解的存在性分析及计算，为之后的欧拉函数定理部分做铺垫。这部分内容在南宋时期由数学家秦九韶最先得出。

P.S. 本文具体内容可查看《数学的思维方式与创新》，丘维声著。在该书的第26页下面关于一次同余方程组的其他解的求解过程部分有一点小问题，应该是，书中那样写成了，理论上讲没有问题，但是写成更符合实际。

问题的提出

一个连的士兵三三数余2，五五数余4，七七数余2，问士兵有多少人。

设士兵共有人，则可得到：

上述的方程组称为一次同余方程组，下面推导其计算方法。

一次同余方程组的计算过程

将上述问题一般化，有：

设是两两互素且均大于1的整数，是任意给定的整数，考虑如下的一次同余方程组：

由于两两互素，应用互素的性质3的推广（可参见​​​与素数有关的一些性质及证明（一）​​）可以得到：

对，有

从而，存在，使得

于是得到

所以有

显然，要构造余数为，只需将上式左右同乘以并求和即可，于是令

则可得

所以，由式构造的是一次同余方程组的一个解。

下面寻找这个方程组的其他解。

设是方程组的另解，则显然

即

由于两两互素，应用互素的性质2的推广（可参见​​​与素数有关的一些性质及证明（一）​​）可以得到

于是可以得到

中国剩余定理

根据上面的讨论，显然可以得到下述定理：

设是两两互素且均大于1的整数，是任意给定的整数，一次同余方程组

在中有解，其全部解是

其中

满足

一次同余方程组的求解

先求出，对和作辗转相除法，将二者的最大公因数表示成二者的倍数和，此时的倍数为。

例题求解

下面对上面的士兵人数问题进行求解。

首先计算和的最大公因数，作辗转相除法得

所以

得到;

以此类推，分别得到。

所以，得到此方程组的全部解是

由于一个连有一百多名士兵，所以取，得到该连有名士兵。

补充

定理中的条件"是两两互素的"是必要的，整个定理的推导都是围绕互素这个条件展开，所以如果没有这个条件，方程组可能没有解。