归并排序

归并排序通过把一个数组的两半有序子数组合并起来，来实现排序。时间复杂度是 O(nlogn)。

一、思路

类似于快速排序，归并排序也是基于分治法的策略。首先，待排序序列被分成两半（所谓“分”）。然后对每一半独立排序（所谓“治”）。最后将两个子数组合并成一个已排序序列（这一步叫Combine）。

图1

Mergesort(n)

下面这个程序简要的概括了归并排序。

void mergeSort(int a[], int b[], int lo, int hi){
    if(lo >= hi) return;
    int mi = lo + (hi - lo)/2;
    mergeSort(a, b, lo, mi);
    mergeSort(a, b, mi + 1, hi);
    merge(a, b, lo, mi, hi);
}

算法步骤：

计算​​[lo, hi]​​​中间的索引​​m​​​ 把数组分割成​​a[lo..mi]​​​和​​a[mi+1..hi]​​两部分。递归的对两部分调用​​mergesort​​使用​​merge​​ 程序对两半已排序数组进行归并。当​​lo == hi​​ 时递归终止。因为1个元素是平凡有序的。merge 程序实现

方案一

把两部分复制到一个辅助数组 b 中。具体是使用两个指针 i 和 j 对两个子数组进行扫描。然后根据指针 i 和 j 选择下一个值拷贝回原数组 a。

图2 归并两个子数组

最后可能会发生的情况是，其中一个指针已经到达末尾，而另一个没有。原则上，指针没有到达末尾的那个子数组的剩余部分应当直接拷贝到原数组 a

具体的，看图2。指针先到达末尾的是第一个子数组，这时候第二子数组的指针还未到达末尾，也就是还剩余两个9。但是这两个9并不需要拷贝，原因是数组 a

C语言实现

void merge(int a[], int b[], int lo, int mi, int hi){
    int i, j, k;
    for(i = lo; i <= hi; ++i){
        b[i] = a[i];
    }
    i = lo; j = mi + 1; k = lo;
    while(i <= mi && j <= hi){
        if(b[i] <= b[j]) a[k++] = b[i++];
        else a[k++] = b[j++];
    }
    while(i < m){
        a[k++] = b[i++];
    }
}

方案二

实际上，第二个子数组没有必要拷贝到数组 b 中去。它可以保留在数组 a

图3 将

b 和 a 的第二个子数组进行归并

C语言实现

void merge(int a[], int b[], int lo, int mi, int hi){
    int i, j, k;
    i = 0; j = lo;
    while(j <= m) b[i++] = a[j++];
    i = 0; k = lo;
    while(k < j && j <= hi){
        if(b[i] <= a[j]) a[k++] = b[i++];
        else a[k++] = a[j++];
    }
    while(k < j) a[k++] = b[i++];
}