插入排序及其优化

直接插入排序

插入排序时间复杂度最好是 ​​O(n)​​​，最坏是​​O(n^2)​​​。
目前常用的 ​​​sort()​​方法在要排序的元素个数小于等于 10 的时候，采用插入排序实现。

大体思路：

将数组的第一个元素代表为已排序序列。用下一个元素往已排序序列进行插入，插入到相应位置循环之前的步骤，直到将所有的元素都插入到已排序序列中

#include <stdio.h>
void insertSort(int *a);
int main() {
    int a[6] = { 5,2,4,1,6,3 };   //这里也可以改成自定义数组
    insertSort(a);
    int k;
    for (k = 0; k < 6;k++) {
        printf("%d ", a[k]);
    }
    getchar();
    return 0;
}
void insertSort(int *a) {
    int i, j,key;
    //这里是从第二个元素开始的
    for (j = 1; j < 6; j++) {
        key = a[j];
        //上一个元素
        i = j - 1;

        //数组下标0开始所以>=0
        while (i >= 0 && a[i] > key){   //一定要有 i>=0 这步，这关系到 i=i-1 的下一步是否进行while循环
            a[i + 1] = a[i];
            i = i - 1;
        }
       a[i + 1] = key;
    }
}

上面代码中为什么要有"​​key=a[i]​​"：选取"变量副本"。在插入排序中，当我们将每一个新元素插入到有序区间的时候，其实并不需要老老实实进行元素的两两交换！

什么意思呢？让我们拿上面例子的第3轮操作来看：

在这一轮中，我们需要让元素 1 逐个与有序区的元素进行比较和交换，最终交换到有序区的第一个位置。
但是按照我们的思路，这里并不需要真的进行完整交换，只需把元素 1 暂存起来，再把有序区的元素从前向后逐一复制：

暂存比较元素

和前一个元素比较，发现1 < 5，复制元素 5 到下一个位置：

和前一个元素比较，发现1 < 4，复制元素 4 到下一位：

和前一个元素比较，发现 1 < 2，复制元素 2 到下一位：

也是最后一步，把暂存的元素 1 赋值到数组的首位：

显然，这样的优化方法减少了许多无谓的交换！

但是还不够好！

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算法改进：

二分插入排序

与直接插排的区别：在有序区查找新元素插入位置时，为了减少元素比较次数，提高效率，采用二分查找法确定插入位置。

算法分析：
设数组为​​​a[0…n]​​。

将原序列分成有序区和无序区。​​a[0…i-1]​​​为有序区，​​a[i…n]​​ 为无序区。（i 从1开始）从无序区中取出第一个元素，即​​a[i]​​，使用二分查找算法在有序区中查找要插入的位置索引 j 。将​​a[j]​​​到​​a[i-1]​​​的元素后移，并将​​a[i]​​​赋值给​​a[j]​​。重复步骤2~3，直到无序区元素为0。

// 二分插入排序
void BinInsertSort(vector<int> &vi){
    for(int i=1;i<vi.size();i++){
        int left=0;
        int right=i-1;
        int temp=vi[i]
        while(left<=right){
            int mid=(left+right)/2; //二分区域
            if(vi[mid]>temp){
                right=mid-1;       //向左缩小区域
            }
            else{
                left=mid+1;        //向右缩小区域
            }
        }
        for(int j=i-1;j>left;j--){  //vi[left,i-1]的元素整体后移 -> vi[left+1,i]
            vi[j+1]=vi[j];
        }
        vi[left]=temp;
    }
}